2sin[π/]·sin[π/] =cos[(n-1)π/]-cos[nπ/] 全部加起来，得到 2sin[π/]·∑sin[π/] =1-cos[2π/] =1 ∴∑sin[π/]=1/{2sin[π/]} 令t=π/，则 原式=lim(t→0)π/银闭· =π/迟搏磨16·lim(t→0)/ =π/16·lim(t→0)/t =π/16·lim(t→0)/ =π/16· =-π/96 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题 制动器试验台的控制方法分析 汽车的行车制动器联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。
2sin[π/(4n)]·sin[π/(4n)]
=1-cos[π/(2n)]
2sin[π/(4n)]·sin[3π/(4n)]
=cos[π/(2n)]-cos[2π/(2n)]
2sin[π/(4n)]·sin[3π/(4n)]
=cos[2π/(2n)]-cos[3π/(2n)]
……
2sin[π/(4n)]·sin[(2n-1)π/(4n)]
=cos[(n-1)π/(2n)]-cos[nπ/(2n)]
全部加起来，得到
2sin[π/(4n)]·∑sin[(2k-1)π/(4n)]
=1-cos[2π/(2n)]
=1
∴∑sin[(2k-1)π/(4n)]=1/{2sin[π/(4n)]}
令t=π/(4n)，则
原式=lim(t→0)π2/银闭(16t2码斗)·(1-t/sint)
=π2/迟搏磨16·lim(t→0)(sint-t)/(t2sint)
=π2/16·lim(t→0)(sint-t)/t3
=π2/16·lim(t→0)(cost-1)/(3t2)
=π2/16·(-1/6)
=-π2/96
A题：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛**格式规范”）
A题 制动器试验台的控制方法分析
汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机樱轮中的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。
为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无脊山法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。
路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。
一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。
由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。
评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
现在要求你们解答以下问题：
1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。
2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
3. 建立电动机驱动电流依桐困赖于可观测量的数学模型。
在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。
4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。
5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。
6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。
用某种控制方法试验得到的数据
已知条件 扭矩(N.m) 转速(rpm) 时间(s) 初转速（rpm） 末转速（rpm） 等效的转动惯量（kg.m2） 机械惯量（kg.m2）
40 514.33 0 514 257 48 35
40 513.79 0.01
40 513.24 0.02
41.25 513.79 0.03
43.75 513.79 0.04
45 513.79 0.05
47.5 513.24 0.06
50 513.24 0.07
53.75 512.69 0.08
55 512.69 0.09
57.5 512.15 0.1
58.75 512.15 0.11
62.5 512.15 0.12
62.5 512.69 0.13
67.5 512.15 0.14
67.5 512.15 0.15
72.5 511.6 0.16
75 511.6 0.17
81.25 511.06 0.18
86.25 511.6 0.19
91.25 511.6 0.2
96.25 510.51 0.21
101.25 510.51 0.22
105 510.51 0.23
110 511.06 0.24
115 510.51 0.25
120 509.42 0.26
127.5 509.42 0.27
133.75 509.42 0.28
143.75 509.42 0.29
150 509.42 0.3
157.5 508.87 0.31
161.25 508.33 0.32
168.75 507.78 0.33
172.5 507.78 0.34
181.25 507.23 0.35
186.25 507.23 0.36
193.75 507.23 0.37
198.75 507.23 0.38
203.75 506.69 0.39
208.75 505.6 0.4
211.25 505.05 0.41
216.25 504.5 0.42
218.75 503.96 0.43
222.5 503.41 0.44
226.25 502.87 0.45
230 502.87 0.46
233.75 502.32 0.47
237.5 502.32 0.48
238.75 501.23 0.49
242.5 500.14 0.5
242.5 499.59 0.51
247.5 499.04 0.52
246.25 499.04 0.53
245 498.5 0.54
241.25 498.5 0.55
245 497.95 0.56
248.75 497.95 0.57
256.25 497.41 0.58
257.5 497.41 0.59
262.5 496.86 0.6
262.5 496.31 0.61
266.25 495.77 0.62
266.25 495.22 0.63
266.25 494.68 0.64
266.25 493.58 0.65
266.25 492.49 0.66
266.25 491.4 0.67
265 490.85 0.68
266.25 490.31 0.69
268.75 489.76 0.7
272.5 489.22 0.71
273.75 488.67 0.72
276.25 488.12 0.73
277.5 488.12 0.74
277.5 487.03 0.75
272.5 486.49 0.76
272.5 485.39 0.77
268.75 484.3 0.78
272.5 483.21 0.79
267.5 482.12 0.8
272.5 481.57 0.81
270 481.57 0.82
277.5 481.57 0.83
278.75 481.03 0.84
282.5 479.93 0.85
282.5 479.39 0.86
282.5 479.39 0.87
282.5 478.84 0.88
280 478.3 0.89
277.5 477.75 0.9
276.25 477.2 0.91
273.75 477.2 0.92
273.75 476.66 0.93
275 476.11 0.94
276.25 475.02 0.95
280 474.47 0.96
280 473.93 0.97
282.5 471.2 0.98
281.25 468.47 0.99
283.75 465.19 1
282.5 463.55 1.01
278.75 461.92 1.02
276.25 461.37 1.03
275 460.28 1.04
277.5 459.73 1.05
280 458.64 1.06
281.25 458.09 1.07
285 457.55 1.08
283.75 457.55 1.09
283.75 456.46 1.1
282.5 455.91 1.11
281.25 455.36 1.12
278.75 455.36 1.13
277.5 455.36 1.14
273.75 454.82 1.15
277.5 454.27 1.16
277.5 453.18 1.17
281.25 452.63 1.18
281.25 451.54 1.19
283.75 451 1.2
285 450.45 1.21
285 449.9 1.22
283.75 449.36 1.23
282.5 448.81 1.24
282.5 448.27 1.25
281.25 448.27 1.26
278.75 447.72 1.27
275 447.17 1.28
276.25 446.63 1.29
276.25 446.08 1.3
280 445.54 1.31
281.25 444.99 1.32
285 443.9 1.33
283.75 443.35 1.34
285 442.81 1.35
282.5 442.26 1.36
285 441.71 1.37
280 441.71 1.38
281.25 441.71 1.39
276.25 441.71 1.4
275 441.17 1.41
273.75 441.17 1.42
276.25 440.62 1.43
278.75 440.08 1.44
280 438.98 1.45
281.25 438.44 1.46
282.5 438.44 1.47
282.5 438.44 1.48
282.5 437.89 1.49
281.25 437.35 1.5
281.25 436.8 1.51
281.25 436.25 1.52
278.75 435.71 1.53
276.25 434.62 1.54
273.75 433.52 1.55
275 432.98 1.56
275 432.98 1.57
278.75 432.43 1.58
278.75 431.34 1.59
283.75 430.79 1.6
282.5 430.79 1.61
285 430.25 1.62
281.25 429.7 1.63
283.75 428.61 1.64
281.25 427.52 1.65
281.25 426.97 1.66
277.5 426.43 1.67
273.75 425.88 1.68
273.75 425.88 1.69
275 425.88 1.7
277.5 425.33 1.71
280 424.79 1.72
282.5 423.7 1.73
283.75 423.15 1.74
286.25 422.6 1.75
285 422.6 1.76
286.25 422.06 1.77
282.5 421.51 1.78
282.5 420.42 1.79
278.75 420.42 1.8
277.5 419.87 1.81
272.5 419.87 1.82
275 418.78 1.83
273.75 417.69 1.84
278.75 416.6 1.85
276.25 416.05 1.86
281.25 416.05 1.87
280 415.51 1.88
282.5 414.96 1.89
281.25 413.87 1.9
281.25 413.32 1.91
281.25 413.32 1.92
280 412.78 1.93
278.75 411.68 1.94
275 410.59 1.95
273.75 409.5 1.96
273.75 409.5 1.97
277.5 408.95 1.98
280 408.95 1.99
282.5 408.95 2
285 408.41 2.01
286.25 407.86 2.02
287.5 406.77 2.03
283.75 405.68 2.04
283.75 405.13 2.05
281.25 404.59 2.06
281.25 404.59 2.07
276.25 404.04 2.08
275 403.49 2.09
270 403.49 2.1
275 402.95 2.11
276.25 402.4 2.12
281.25 401.31 2.13
281.25 400.22 2.14
282.5 399.67 2.15
285 398.58 2.16
286.25 398.03 2.17
285 397.49 2.18
283.75 396.94 2.19
282.5 396.4 2.2
282.5 396.4 2.21
281.25 395.85 2.22
278.75 395.3 2.23
277.5 394.21 2.24
275 393.12 2.25
276.25 392.57 2.26
277.5 392.57 2.27
281.25 392.03 2.28
281.25 391.48 2.29
285 390.94 2.3
282.5 390.94 2.31
286.25 390.39 2.32
281.25 389.84 2.33
285 389.3 2.34
281.25 388.75 2.35
282.5 388.21 2.36
278.75 387.66 2.37
277.5 386.57 2.38
275 386.02 2.39
273.75 386.02 2.4
275 386.02 2.41
278.75 385.48 2.42
280 384.38 2.43
282.5 382.75 2.44
283.75 382.2 2.45
283.75 382.2 2.46
285 381.11 2.47
283.75 380.02 2.48
285 379.47 2.49
282.5 379.47 2.5
283.75 380.02 2.51
277.5 378.92 2.52
277.5 377.83 2.53
271.25 376.74 2.54
275 376.19 2.55
271.25 376.19 2.56
276.25 375.1 2.57
275 374.56 2.58
281.25 373.46 2.59
282.5 372.92 2.6
287.5 372.92 2.61
287.5 372.37 2.62
287.5 372.37 2.63
286.25 371.83 2.64
285 371.28 2.65
283.75 370.73 2.66
283.75 370.73 2.67
282.5 370.19 2.68
278.75 369.64 2.69
276.25 368.55 2.7
275 367.46 2.71
276.25 366.91 2.72
278.75 366.37 2.73
280 366.37 2.74
282.5 365.82 2.75
291.25 365.27 2.76
292.5 364.73 2.77
297.5 364.73 2.78
290 364.18 2.79
291.25 363.64 2.8
285 362.54 2.81
287.5 361.45 2.82
283.75 360.91 2.83
282.5 359.81 2.84
277.5 359.27 2.85
276.25 358.72 2.86
275 358.72 2.87
275 358.18 2.88
277.5 357.63 2.89
280 357.08 2.9
281.25 356.54 2.91
282.5 355.99 2.92
285 355.45 2.93
286.25 354.9 2.94
287.5 354.35 2.95
285 353.81 2.96
285 353.26 2.97
283.75 353.26 2.98
283.75 352.72 2.99
278.75 352.17 3
278.75 351.62 3.01
272.5 351.62 3.02
273.75 351.08 3.03
270 350.53 3.04
275 349.44 3.05
273.75 348.35 3.06
280 347.8 3.07
282.5 346.71 3.08
286.25 346.16 3.09
287.5 345.62 3.1
288.75 345.62 3.11
288.75 345.62 3.12
287.5 345.07 3.13
286.25 344.53 3.14
285 344.53 3.15
285 343.98 3.16
282.5 342.89 3.17
280 341.25 3.18
276.25 340.16 3.19
275 339.61 3.2
273.75 339.07 3.21
277.5 339.07 3.22
278.75 338.52 3.23
282.5 337.97 3.24
282.5 337.43 3.25
286.25 336.88 3.26
285 336.88 3.27
290 336.34 3.28
287.5 335.79 3.29
288.75 334.7 3.3
285 334.15 3.31
286.25 333.61 3.32
283.75 333.06 3.33
283.75 332.51 3.34
281.25 331.42 3.35
277.5 330.88 3.36
273.75 330.33 3.37
273.75 330.33 3.38
275 330.33 3.39
276.25 329.78 3.4
280 329.24 3.41
280 328.15 3.42
282.5 327.6 3.43
282.5 326.51 3.44
286.25 325.96 3.45
286.25 325.42 3.46
288.75 324.87 3.47
283.75 324.32 3.48
286.25 323.78 3.49
282.5 323.78 3.5
286.25 323.23 3.51
280 322.69 3.52
281.25 321.59 3.53
275 321.05 3.54
277.5 320.5 3.55
276.25 319.96 3.56
278.75 318.86 3.57
278.75 318.32 3.58
281.25 317.77 3.59
282.5 317.23 3.6
285 316.68 3.61
285 316.13 3.62
287.5 315.59 3.63
288.75 315.04 3.64
288.75 314.5 3.65
287.5 313.95 3.66
285 313.95 3.67
285 313.95 3.68
283.75 313.4 3.69
283.75 312.31 3.7
281.25 311.22 3.71
281.25 310.13 3.72
276.25 309.58 3.73
276.25 309.04 3.74
273.75 309.04 3.75
278.75 309.04 3.76
277.5 308.49 3.77
282.5 307.94 3.78
282.5 306.85 3.79
285 306.31 3.8
285 306.31 3.81
287.5 306.31 3.82
288.75 305.21 3.83
287.5 304.12 3.84
286.25 303.03 3.85
285 303.03 3.86
285 302.48 3.87
283.75 301.94 3.88
282.5 301.39 3.89
280 300.85 3.9
278.75 300.85 3.91
275 300.3 3.92
275 299.21 3.93
275 298.12 3.94
278.75 297.57 3.95
277.5 297.02 3.96
281.25 296.48 3.97
281.25 295.39 3.98
287.5 294.84 3.99
283.75 294.84 4
287.5 294.29 4.01
285 293.75 4.02
291.25 292.66 4.03
290 292.66 4.04
291.25 292.11 4.05
287.5 292.11 4.06
285 291.02 4.07
283.75 290.47 4.08
282.5 289.93 4.09
281.25 289.93 4.1
278.75 289.38 4.11
276.25 288.29 4.12
273.75 287.2 4.13
273.75 286.65 4.14
275 286.1 4.15
278.75 286.1 4.16
281.25 285.56 4.17
283.75 285.01 4.18
285 285.01 4.19
287.5 283.92 4.2
287.5 283.37 4.21
291.25 282.28 4.22
290 282.28 4.23
292.5 281.74 4.24
287.5 281.19 4.25
288.75 280.64 4.26
285 279.55 4.27
285 279.01 4.28
282.5 278.46 4.29
282.5 277.91 4.3
281.25 277.91 4.31
277.5 277.37 4.32
273.75 276.28 4.33
272.5 275.73 4.34
272.5 275.18 4.35
275 274.64 4.36
277.5 274.09 4.37
280 273.55 4.38
283.75 273 4.39
285 272.45 4.4
286.25 271.91 4.41
286.25 271.36 4.42
288.75 270.82 4.43
287.5 269.72 4.44
291.25 269.18 4.45
287.5 269.18 4.46
290 268.63 4.47
283.75 268.09 4.48
286.25 266.99 4.49
281.25 266.45 4.5
285 265.9 4.51
281.25 265.36 4.52
281.25 264.26 4.53
276.25 263.72 4.54
273.75 263.72 4.55
272.5 263.72 4.56
275 263.17 4.57
276.25 262.63 4.58
278.75 261.53 4.59
281.25 260.99 4.6
282.5 260.44 4.61
285 259.9 4.62
285 259.9 4.63
288.75 258.8 4.64
288.75 258.26 4.65
291.25 257.71 4.66
288.75 257.17 4.67
第一篇 江苏省普通高等学校非理科专业历届高等数学竞赛试题与解析
第一届（1991年）竞赛试题与解析
第一届本科竞赛试题
第一届本科竞赛试题解析
第一届专科竞赛试题
第一届专科竞赛试题解析
第二届（1994年）竞赛试题与解析
第二届本科一级竞赛试题
第二届本科一级竞赛试题解析
第二届本科二级竞赛试题
第二届本科二级竞赛试题解析
第二届专科竞赛试题
第二届专科竞赛试题解析
第三届（1996年）竞赛试题与解析
第三届本科一级竞赛试题
第三届本科一级竞赛试题解析
第三届本尘岩科二级竞赛试题
第三届本科二级竞赛试题解析
第三届本科**、专科竞赛试衡兄伍题
第三届本科**、专科竞赛试题解析
第四届（1998年）竞赛试题与解析
第四届本科一、二级竞赛试题
第四届本科咐或一、二级竞赛试题解析
第四届本科**、专科竞赛试题
第四届本科**、专科竞赛试题解析
第五届（2000年）竞赛试题与解析
第五届本科一级竞赛试题
第五届本科一级竞赛试题解析
第五届本科二级竞赛试题
第五届本科二级竞赛试题解析
第五届本科**竞赛试题
第五届本科**竞赛试题解析
第五届专科竞赛试题
第五届专科竞赛试题解析
第六届（2002年）竞赛试题与解析
第六届本科一级竞赛试题
第六届本科一级竞赛试题解析
第六届本科二级竞赛试题
第六届本科二级竞赛试题解析
第六届本科**竞赛试题
第六届本科**竞赛试题解析
第六届专科竞赛试题
第六届专科竞赛试题解析
第七届（2004年）竞赛试题与解析
第七届本科一级竞赛试题
第七届本科一级竞赛试题解析
第七届本科二级竞赛试题
第七届本科二级竞赛试题解析
第七届本科**竞赛试题
第七届本科**竞赛试题解析
……
第二篇 **学历年大学教学竞赛试题与解析
第三篇 莫斯科大学等国外高校大学生高等数学竞赛题选解
第四篇 思考题
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
A题 储油罐的变位识别与罐容表标定
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，没猛通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐氏察握容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进歼庆/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
关于大学数学竞赛试题的内容，到这里就结束了。想要了解更多相关内容，请点击下方的推荐文章。
